Ecuaciones de Primer Grado

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Ecuación de Primer Grado

Ecuaciones Lineales

Las ecuación de primer grado es tambien conocido como ecuación lineal y tiene la siguiente forma general:



ax + b = 0; a ≠ 0

Elementos de la Ecuación Lineal

Forma General de la Ecuación de primer grado

Donde:
x: es la variable o incógnita.
a: coeficiente principal.
b: término independiente.

La ecuación lineal tiene una única solución; es decir, es COMPATIBLE DETERMINADA.
La solución de esta ecuación, después de depejar "x" será:


x = -b/a

El Valor: "-b/a" también será su conjunto solución (CS) de la ecuación lineal.


Ejemplo de Ecuaciones Lineales:


     » x + 1 = 0
     » 2x -3 = 5
     » x/2 + 4 = 7
     » x + y = 15
     » 3/x + y + z = 5


Para este tema, las ecuaciones lineales que estudiaremos son ecuaciones con una sola variable y casi siempre va a estar referido a la incógnita “x”. Dejar en claro que las ecuaciones lineales pueden tener 2 o más variables (x, y, z, ...), motivo de estudio en el tema de Sistema de Ecuaciones Lineales.




Análisis de la Ecuación de Primer Grado

Reforzaremos la teoría y veremos que sucede cuando la ecuación de primer grado: ax + b = 0, a ≠ 0 NO SE CUMPLE; es decir, cuando “a” tome el valor de cero (0).
Se tendrán dos casos:


Caso 1: si a = 0 ∧ b = 0

Reemplazando los valores la ecuación resultará: 0x + 0 = 0; de donde podemos observar que cualquier valor de "x" satisface la ecuación; es decir, la ecuación tiene INFINITAS SOLUCIONES o es COMPATIBLE INDETERMINADA.


Caso 2: si a = 0 ∧ b ≠ 0

La ecuación quedará así: 0x + b = 0 y podrá notar que ningún valor de "x" lográ satisfacer la ecuación. En este caso se dice que la ecuación NO TIENE SOLUCIÓN o es IMCOMPATIBLE.


¿Cómo resolver Ecuaciones Lineales?

Resolver una ecuación es importante y necesario para cualquier estudiante. Mucho del progreso que uno pueda tener en matemáticas se debe al tema de ecuaciones, ya que si no se sabe cómo se resuelve una ecuación de poco servirá los conocimientos en otros temas.

Recuerde que, en cualquier problema matemático, ya sea de álgebra, aritmética, geometría o de física, por lo general se reducirá a una ecuación lineal y es ahí donde se deberá tener los conocimientos y destreza necesaria para poder resolverlo. La resolución de la ecuación de primer grado consistirá en despejar “x” y hallar el valor de la incógnita.


Sólo con la práctica, se garantizará calcular “x” rápidamente y sin error, incluso algunos problemas saldrán mentalmente.



Por ejemplo,
Hallar “x” de la siguiente ecuación:


2x + 1 = 7

Este ejemplo de ecuación lineal podemos realizarlo sin ningún esfuerzo, incluso sin saber despejar “x” se puede saber el valor de la incógnita.

¿Cómo? Así:

Debemos hacer un razonamiento y preguntarnos: ¿Qué NÚMERO multiplicado por dos y sumado 1 me da 7?, que sería otra forma de plantear la ecuación.

Mentalmente sabemos que el “NÚMERO” (quién hace de incógnita) es igual a “3”, pues:


2(3) + 1 = 7
⇒ 7 = 7; cumple la igualdad.


Por lo tanto
“x” tendrá como solución al número 3.


Sin embargo, no todas las ecuaciones que encontremos serán así, por lo que veremos a continuación cómo hallar la solución de una ecuación despejando "x".


Despejar "X" en una Ecuación Lineal

Despejar "x" de una ecuación lineal y llegar a la solución puede parecer un dolor de cabeza para cualquier estudiante; pero, en realidad no es complicado ya que existen diversos métodos para despejar “x”.
Lo único que debemos tener en cuenta es no transgredir las reglas o principios matemáticos.


Miembros de una ecuación lineal
¡MUY IMPORTANTE!
Para pasar una expresión algebraica de un miembro a otro miembro se debe considerar las siguientes REGLAS MATEMÁTICAS:

» Si la expresión está sumando, pasa al otro miembro restando.
» Si la expresión está restando, pasa al otro miembro sumando.
» Si la expresión está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo.
» Si la expresión está dividiendo, pasa al otro miembro multiplicando.

De acuerdo al cuadro, veamos cómo se despeja "x" en la siguiente ecuación de primer grado:


ax + b = 0

Para resolver esta y todas las ecuaciones que tengamos en frente, en general, se recomienda que:

"La incógnita: “x” siempre tratar de mantenerlo en el primer miembro y todas las expresiones que no contengan a la variable pasarlo al segundo miembro".

Paso 1: Pasando la expresión “b” al 2do miembro:
ax = -b (pasó con signo cambiado, de: "+" a "-")

Paso 2: Ahora pasamos el término “a” al 2do miembro:
x = -b/a (pasó de multiplicar a la incógnita a dividir la expresión del 2do miembro)

Por lo tanto Solución de “x” es igual a “-b/a”.

Sigamos practicando con más ejemplos de ecuaciones lineales.



Ejemplo 01:


Hallar el valor de x en la siguiente ecuación:
4x + 7 = 12
Resolución:

Veamos paso a paso:


DESPEJANDO "x"PASOS 4x + 7 = 12 Paso 1: Pasamos "+7" al 2do miembro. 4x = 12 - 7 Paso 2: Realizando la operación en el 2do miembro. 4x = 5 Paso 3: Pasamos "4" al 2do miembro para despejar "x". Por lo tanto x = 5/4 Esta sería la solución de la ecuación.

Ejemplo 02:


Resolver la siguiente ecuación lineal:
7x - 21 = 4x + 15
Resolución:

En este ejercicio aparece la variable en el primer y segundo miembro. No hay problema, se seguirá el mismo método que el ejemplo 1, las variables al 1er miembro y las demás expresiones al segundo miembro.


DESPEJANDO "x"PASOS 7x - 21 = 4x +15 Paso 1: Pasamos "-21" al 2do miembro y "4x" al 1er miembro. 7x - 4x = 15 + 21 Paso 2: Teniendo variables en el 1er miembro y términos en el 2do miembro, operamos. 3x = 36 Paso 3: Pasamos "3" al 2do miembro para despejar "x". x = 36/3 Paso 4: Operamos la división. Por lo tanto x = 12 Esta sería la solución de la ecuación

Despejar "X" en Ecuaciones Lineales con Paréntesis

Aprendamos cómo se despeja "x" en una ecuación con paréntesis, en realidad es fácil. Siga las siguientes recomedaciones:

— Lo primero que debemos hacer es quitar los paréntesis mediante operaciones matemáticas básicas, en realidad es multiplicar un término por un binomio. Vea ejemplos:

ejemplos de producto con paréntesis

— Luego procedemos a despejar "x" como se ha realizado en los ejemplos 1 y 2.

Una consejo más, en este tipo de problemas tener cuidado con los "signos" al multiplicar expresiones.
En la resolución de una ecuación, esto conlleva casi siempre al error de estudiantes. Si se equivoca en un signo no llegará a la solución.

Veamos unos ejemplos:


Ejemplo 03:


Resolver la siguiente ecuación lineal:
4x + 2(3 + x) = 12
Resolución:

Hagamos el procedimiento que se ha recomendado, primero eliminemos el paréntesis.
Desarrollamos:


RESOLUCIÓNPASOS ecuación lineal con paréntesis Paso 1: Procedemos a eliminar el paréntesis multiplicando el término "+2" con las expresiones que contiene al paréntesis. 4x + 6 + 2x = 12 Paso 2: Despejando "x", pasamos "+6" al 2do miembro. 4x + 2x = 12 - 6 Paso 3: Operamos en ambos miembros. 6x = 6 Paso 4: Pasamos "6" que está multiplicando al 2do término. x = 6/6 Paso 5: Operando la división. Por lo tanto x = 1 Esta sería la solución de la ecuación.

Ejemplo 04:


Resolver la siguiente ecuación lineal con paréntesis:
3(x - 1) - 4(5 - x) = 12
Resolución:

Desarrollamos igual que el ejemplo 3. Aquí debemos tener ¡CUIDADO! con los signos.


RESOLUCIÓNPASOS ecuación lineal con paréntesis Paso 1: Procedemos a eliminar los dos paréntesis multiplicando. 3.x +3.-1 -4.+5 -4.-x = 2 Paso 2: Se ha desglozado la ecuación, veamos el producto con signos:
+3.-1 es -3
-4.+5 es -20
-4.-x es +4x
Veamos en el paso siguiente cómo quedó el primer miembro.
3x – 3 – 20 + 4x = 2 Paso 3: Aquí dejamos la variable en el 1er miembro y las expresiones restantes al 2do miembro. 3x + 4x = 2 +3 +20 Paso 4: Operamos en cada miembro 7x = 25 Paso 5: Pasamos "7" al 2do miembro. Por lo tanto
x = 25/2 Esta sería la solución de la ecuación.

Despejar "X" en Ecuaciones Lineales con Fracciones

Para realizar este tipo de ecuaciones de primer grado, recomendamos:

Si la ecuación lineal tiene una expresión que es fracción, se debe multiplicar a ambos miembros por el valor del denominador, este es un artificio para eliminar el denominador y por ende la fracción.
Si la ecuación tiene más de una fracción como expresión, se debe primero sacar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores, luego multiplicar ambos miembros de la ecuación por el mcm que se ha obtenido.
— Por último, despejar “x” como lo hemos estado haciendo.

Veamos unos ejemplos:


Ejemplo 05:


Resolver la siguiente ecuación lineal:
Ecuación lineal con fracción
Resolución:

Resolvemos el problema de acuerdo a las recomendaciones ya dadas.


RESOLUCIÓNPASOS ecuación lineal con fracción Paso 1: Esta ecuación sólo tiene una fracción y su denominador es "4", entonces multiplicamos ambos mienbros por "4". operando ecuación lineal con fracciones Paso 2: Aquí, operamos como si estuvieramos resolviendo una ecuación con paréntesis. Ver los ejemplos 3 y 4. Paso 3: Operamos en ambos miembros 8x + 4x - 12 = 20 Paso 4: Pasando "-12" al 2do miembro y operando. 12x = 32 Paso 5: Despejamos "x" pasando "12" al segundo miembro. x = 32/12 Paso 6: Simplificando numerador y denominador. Por lo tanto
x = 8/3 Esta sería la solución de la ecuación.

Ejemplo 06:


Resolver la ecuación lineal:
Resolver la ecuación lineal:
Resolución:

En este ejemplo tenemos varias expresiones que hacen de fracciones, veamos su resolución paso a paso.


RESOLUCIÓNPASOS ecuación lineal con fracción Paso 1: Sacamos el mcm de los denominadores de las fracciones que vemos. mcm(2,3 y 4) = 12.
Entonces multiplicamos por 12 a ambos miembros.
operando ecuación lineal con fracciones Paso 2: Aquí, operamos con paréntesis en ambos miembros. recolviendo una ecuación lineal con paréntesis Paso 3: Simplificando. 4(x + 2) + 6(x - 2) = 3 Paso 4: Operando esta ecuación con paréntesis. y ordenando. 4x + 6x = 3 + 4 Paso 5: Operando en ambos miembros. 10x = 7 Paso 6: Despejando "x". Por lo tanto
x = 7/10 Esta sería la solución de la ecuación.

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Lineales

Presentamos diversos Ejercicios Resueltos de Ecuaciones de Primer Grado para afianzar la teoría y poner en práctica lo aprendido.


EJERCICIO 01:


Resolver la siguiente ecuación:
3x + 5(x - 2) = 2(3x + 4)
Resolución:

De acuerdo a lo visto en los ejemplos 3 y 4, apliquemos el mismo procedimientoo en este ejercicio.
Multiplicamos en ambos miembros el término con las expresiones que contienen al paréntesis, así:

ecuación con paréntesis

Operando y agrupando la incógnita "x" al 1er miembro y las demás expresiones al 2do miembro.
Observe cómo pasan a otro miembro las expresiones (cambian de signos).

despejando "x"

Operando en ambos miembros:

2x = 18

Despejando "x":

x = 18/2 = 9


Por lo tanto x = 9 (Solución)

EJERCICIO 02:


Calcular "m.n" para que la ecuación:
2x - 2n = mx + 7
Sea compatible indeterminada:
Resolución:

Por la teoría de "Análisis de la Ecuación de Primer Grado" que se ha visto, una ecuación lineal de la forma: ax + b = 0 es COMPATIBLE INDETERMINADA si: a = 0 ∧ b = 0.


En el ejercicio, ordenamos las expresiones para llegar a la forma general de la ecuación lineal.
Pasamos todas la expresiones al primer miembro.


2x - mx - 2n - 7 = 0


Factorizando "x":


(2 - m)x - 2n - 7 = 0


Aplicando la teoría, tenemos:


2 - m = 0 ∧ - 2n - 7 = 0


  ⇒ m = 2 ∧ n = -7/2


Reemplazando "m" y "n" en lo que pide el problema:


⇒ m.n = 2(-7/2) = -7


Por lo tanto m.n = -7 (Solución)


EJERCICIO 03:


Hallar "x" de la siguiente ecuación lineal:
ejercicio N° 3 de ecuaciones lineales
Resolución:

Tenemos un ejercicio con ecuaciones lineales con fracciones, entonces saquemos el mcm de los denominadores; es decir: mcm (2, 5, 10) = 10

Multiplicamos por "10" al primer y segundo miembro, así:

ecuaciones con fracciones

Ahora multiplicamos 10 por cada expresión dentro del paréntesis, tendremos:

ecuaciones con fracciones

Simplificando y multiplicando términos:

5x + 5m - 60 + 2m - 2x = 7m


Agrupando:


5x - 2x = 7m - 7m + 60


Operando:

3x = 60


Por lo tanto
x = 20 (Solución)

Sobre el Autor

Autor
Alex Magallanes

Alex es ingeniero de profesión de la Universidad Nacional de Ingeniería, ciudad de Lima.
Con deseos de compartir sus conocimientos y experiencia adquirida a lo largo de los años. Amante de los números y enseñanza de las matemáticas.
Forma parte de los colaboradores activos de “Ciencia Matemática”.

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