Problemas Resueltos de Fracciones Problemas para Secundaria (ESO) y Pre-Universitarios

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  Problemas Nivel Medio

Problema N°01

Con dos números primos se forma una fracción que sumada con su inversa da 34/15. Cuál es la fracción que se menciona?.

inversa o recíproco de una fracción
A la inversa de una fracción también se le conoce como: recíproco de la fracción, consiste en intercambiar numerador y denominador, tal como se muestra en la figura.

Resolución:

Sean los número primos: "a" y "b", planteamos el problema así:
suma de fracciones
Desarrollando:

división de fracciones
Entonces: 15a2 - 34ab + 15b2 = 0

Aplicando el método de factorización por aspa simple y considerando que a y b son primos, tenemos:
a=5 y b=3.

La fracción que nos piden será: 5/3 ...Respuesta

Problema N°02

La suma y la multiplicación de tres números concecutivos determinan el numerador y denominador respectivamente de una fracción equivalente a 196/7840. Cuál es el mayor de dichos números?.

Resolución:

Sean los números consecutivos: (m-1)(m)(m+1)
Planteando el problema tenemos:
suma de fracciones
Factorizando:
operaciones con fracciones
Desarrollando: 120 = (m - 1)(m + 1) = m2 - 1

                  entonces m2 = 121,

Entonces: m = ±11

Consideramos m = 11, porque si se toma el valor m = -11 nos da la fracción con denominador "-", el cual es imposible. Ver teoría.

por lo tanto El mayor número, sería: "m + 1"; es decir: 11 + 1 = 12. ...Respuesta.

Problema N°03

A una reunión asistieron 103 personas, de las cuales 4/15 de los hombres bailaban y la séptima parte de las mujeres usaban falta. Cuántas mujeres no bailaban?.

Resolución:

Del enunciado deducimos:

— "4/15 de los hombres bailaban"
entonces # hombres es múltiplo de 15; es decir: múltiplo de 15 (15x)

— "la séptima parte de las mujeres usaban falda"
entonces # mujeres = multiplo de 7 (7y)

Entonces se plantea la ecuación: 15x + 7y = 103
Buscando los valores para "x", "y":

Cuando "x = 1":
# Hombres sería: 15 y las mujeres serían 88 (no cumple, porque 88 nos es multiplo de 7)

Cuando "x = 2":
# Hombres sería: 30 y las mujeres serían 73 (No cumple)

Cuando "x = 3":
# Hombres sería: 45 y las mujeres serían 58 (No cumple)

Cuando "x = 4":
# Hombres sería: 60 y las mujeres serían 43 (No cumple)

Cuando "x = 5":
# Hombres sería: 75 ( múltiplo de 15 ) y las mujeres serían 28 (múltiplo de 7) ... SI CUMPLE

Hemos encontrado:

— # Hombres = 75
— # Mujeres = 28

Ordenando los datos y graficando:
diagrama para visualizar las personas que bailaban y no bailaban.
Notar que cuando se baila en pareja, el número de hombres que bailan y el número de mujeres que bailan deden ser siempre iguales.

  por lo tanto El número de mujeres que no bailan es 8 ...Respuesta.

Problema N°04

El númerador y denominador de una fracción son números formados por las mismas dos cifras, pero dispuestas en orden inverso. Si la fracción equivale a 3/8, cuál es la suma de las 2 cifras mencionadas.

Resolución:

Sea el número de dos cifras: numero de dos cifras, se plantea el problema:
multiplicacion de una fracción
Resolviendo: 80a + 8b = 30b + 3a

                   77a = 22b entonces 7a = 2b;

Analizando vemos que los valores tendrían que ser: a = 2 y b = 7 porque son los únicos valores que cumplen esa igualdad ya que "a" y "b" son números enteros positivos de una cifra.

por lo tanto La suma de las cifras es: a + b = 9 ...Respuesta.

Problema N°05

La suma de dos fracciones homogéneas es 6 y la suma de los numeradores es 18, si la suma de los 4 términos es 720, cuál es el producto de estas fracciones?

qués es una fracción homogénea?
Dos fracciones serán homogéneas si los denominadores son iguales.

Resolución:

Planteando el problema según los datos:

i) Sean las fracciones homogéneas:
suma y multiplicacion de fracciones
                   Entonces b = 3

ii) También: a.c.b.b = 720
                   a.c = 80 entonces a = 10 y c = 8

por lo tanto Nos piden: (10/3)(8/3) = 80/9 ...Respuesta.

Problema N°06

Disminuyendo una misma cantidad a los dos términos de la fracción x/y, se obtiene la fracción original invertida. Cuál es aquella cantidad?.

Resolución:

Sea la fracción x/y, luego del datos:
igualdad de fracciones
Desarrollamos:

                  x2 - ax = y2 - ay

                  a(y -x) = y2 - x2

                  a(y -x) = (y - x)(y + x)

                  a = x + y

La cantidad que se agrego es: x + y ...Respuesta.

Problema N°07

Ricardo va todos los días de su casa al colegio por el único camino que hay y regresa a su casa presuroso al terminar la clase. Si Ricardo recorrería los 2/3 de los 3/5 de los 7/3 de la mitad del camino de ida, estaría recorriendo 105 metros menos que si recorriera los 21/5 de los 4/7 de los 2/9 del camino usual de regreso. Cuántos metros recorrerá Ricardo en transportarse de su casa al colegio y viceversa, en un día que fue dos veces al colegio?.

Resolución:

Sea "d" la longitud del camino:

Planteando el problema y factorizando:
muktiplicación de fracciones
Desarrollando tenemos:
operaciones con fracciones

por lo tanto Ricardo va dos veces al colegio, recorrerá: 4 (d); es decir: 4(1575) = 6300 m ...Respuesta.

Problema N°08

Un número racional irreductible x = p/q tiene las siguientes propiedades:
i) 3/5 < x < 4/5
ii) Si se divide el intervalo [ 3/5; 4/5 ] en cinco partes iguales, el número "x" está en el punto medio del tercer intervalo.
Calcular: p + q

Resolución:

Según los datos, graficamos en la recta numérica:
fracciones en la recta numérica

Se observa también que "x" esta en el punto medio del intervalo de [3/5 ; 4/5]
división de fracciones
Igualando: x = p/q = 7/10; entonces: p = 7 y q = 10

por lo tanto Nos piden: p + q = 17 ...Respuesta.

Problema N°09

En una reunión de 80 personas los tres quintos menos 2 personas son varones.
Qué fracción representa la diferencia entre varones y mujeres respecto del total?.

Resolución:

Planteando el problema según los datos:

Total de personas: 80
# Varones = 3/5(80) - 2

entonces # varones = 46

También se conoce el # mujeres, sería: 80 - 46 = 34

Planteando la fracción que nos piden:
Desarrollo de una fracción
por lo tanto La fracción pedida es 3/20 ...Respuesta.

Problema N°10

Durante los 7/9 de un día se consume los 14/27 de la carga de una batería. En cuánto tiempo se consume la mitad de la carga?.

Resolución:

Sea: "x", el tiempo en que se consume la mitad de la carga.
Entonces se plantea el problema de acuerdo al siguiente diagrama:
planteando el problema
Después de colocar adecuadamente los datos vemos que el problema se resume a la regla de tres simple:
multiplicación y división de fracciones
por lo tanto El tiempo pedido será 3/4 del día ...Respuesta.

www.fracciones.net

Teoría de Fracciones

Autor: Ciencia Matemática

El tema de Fracciones del Curso de Aritmética es muy importante ya sea por las aplicaciones que tiene en la vida diaria o por la imperiosa necesidad de aprenderlo para resolver problemas matemáticos.

Para aprender y profundizar este importante tema se ha creado Fracciones.net con el objetivo de brindar al estudiante un espacio donde podrá afianzar la teoría y práctica de los conocimientos adquiridos en los centros educativos, independiente del nivel que se encuentre.

Aquí se resalta toda la teoría de Fracciones complementado con ejemplos y ejercicios resueltos de cada capítulo, haciéndolo una web interesante de buen contenido y motivo de consulta por estudiantes de primaria, secundaria y de niveles superiores.



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Contenido: Definición, clasificación de Fracciones ( propia, impropia, reductible, homogénea, heterogénea,...), operaciones con fracciones (suma, resta, multiplicación, división) ... y más.

Problema N°11

Una pieza mecánica para ser procesada pasa por tres etapas: en la primera se le añade acero, aumentando su peso en 1/5; en la segunda, al efectuar algunos cortes y agujeros, se píerde 1/10 del peso que quedaba; y en la tercera se le añade nuevamente acero, por lo que aumenta su peso en 3/10 del peso que quedaba. Si al final del proceso dicha pieza aumenta su peso en 202 gramos. Calcular su peso inicial.

Resolución:

Sea "x" el peso inicial de la pieza mecánica, del enunciado graficamos las etapas por donde pasa la pieza, teniendo lo siguiente.
gráfica de fracciones

y en la tercera etapa se tendría:
fase 3 por donde pasa la pieza, resulta el peso final.

En el dato, nos dicen que al final de las tres etapas la pieza aumentó su peso en 202 gramos.
Entonces se plantea la siguiente ecuación.
multiplicación de fracciones
Resolviendo: x = 500

por lo tanto El peso inicial de la pieza es 500 gramos ...Respuesta.

Problema N°12

Calcular:
Problema de fracción generatriz

inversa o recíproco de una fracción
Fracción generatriz, a partir de una decimal inexacto periódico mixto.

Resolución:

Este problema de decimales es un aplicación de la fracción generatriz. Para desarrollarlo recomendamos que observe los ejemplos que se muestran en la figura y aplicarlos apropiadamente en el problema.

Convirtiendo la expresión "S" a fracciones y desarrollando:
resolviendo la fracción generatriz

Simplificando y dándole forma:
Reduciendo la suma de fracciones

Por lo tanto La Expresión S = 1204 ...Respuesta.

Problema N°13

Cuál es la fracción irreductible que divida entre su recíproco da como resultado el decimal 0,7511111...?

Resolución:

Sea: a/b la fracción que se pide, se plantea el problema así:
División de fracciones
Desarrollando y según la teoría vista en el problema anterior sobre fracción generatriz, tenemos:
fracción generatriz
Al momento de sacar la raíz cuadrada a la expresión debemos de considerar sólo la expresión positiva.
Resolviendo la fracción
por lo tanto La fracción pedida es: 13/15 ...Respuesta.

Problema N°14

Se deja derretir 3 pedazos de hielo, tales que el volumen del segundo es los 3/7 del volumen del primero y los 6/13 del volumen del tercero. Sabiendo que la diferencia de volumenés entre el primer y tercer pedazo es de 50 centímetros cúbicos. Cuál es el volumen total de los tres pedazos de hielo?.

Resolución:

Sean: "a", "b" y "c" los volúmenes de los cubos del enunciado
Problema resuelto de fracciones N°14

Donde:
multiplicar fracciones
La diferencia de volumenés del 1er y 3er pedazo es: a - c = 50

Reemplanzando en (1), tenemos:
operaciones con fracciones
De la misma forma: a = 700 y b = 300

entonces Volumen Total = 700 - 300 + 650 = 1650 cm3 ...Respuesta.

Problema N°15

La parte no fumable de un cigarro es 1/4 de la longitud del cigarro, un fumador consume los 7/8 de la parte fumable, sabiendo que en cada "pitada" consume 1/64 de la parte fumable. Cuántas pitadas dio el fumador?.

Resolución:

Siendo L = la longitud del cigarro, graficamos la siguiente figura para tener referencia de lo que se menciona.
Graficando el problema N° 15.

También se menciona que el fumador consume:
producto de fracciones
En cada pitada consume:
fracción reducida.
Entonces, el número de pitadas será lo que consume total entre el consumo de cada pitada, así:
división de una fracción.
por lo tanto El número de pitadas es 56 ...Respuesta.