Triángulo Equilátero

Triángulo Equilátero

Triángulo Equilátero

Definimos el triángulo equilátero como aquel triángulo que tiene los tres lados iguales. En consecuencia la medida de sus ángulos internos serán iguales y su valor de cada uno es 60°.
Véase la siguiente figura.


El triángulo equiláetro. Tiene los lados y ángulos internos iguales.

El Triángulo equilátero se define también como aquel polígono regular de tres lados y equiangular a la vez (ángulos iguales).

De acuerdo con la clasificación de triángulos, el triángulo equilátero pertenece a la clase: "según la longitud de sus lados" al igual que el triángulo isósceles y triángulo escaleno. Sin embargo, de todas las clases de triángulos, el triángulo equilátero es el más conocido y quizá el que más se estudie en las escuelas por las propiedades y las aplicaciones que tiene.


Propiedades del Triángulo Equilátero

a) En un triángulo equilátero las líneas notables: Mediana, Bisectriz, Altura y Mediatriz son iguales en segmento y longitud. Véase la Figura: 01.


Líneas notables en un triángulo equilátero


b) Cuando se traza la altura en un triángulo equilátero, la línea notable lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes (véase Figura: 01). En cualquiera de estos triángulos se puede aplicar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas de 30° y 60°(véase la Figura: 03)


Triángulo equilátero, al trazar la altura se divide en dos triángulos rectángulos congruentes.


Al trazar la altura en un triángulo rectángulo se forman dos triángulos rectángulos congruentes



c) En un triángulo equilátero los puntos notables: baricentro, incentro, circuncentro y ortocentro coinciden en un mismo "punto" y se cumple que la distancia del punto a un vértice es el doble de su distancia a la base.
Véase la figura 04.


Al trazar la altura en un triángulo rectángulo se forman dos triángulos rectángulos congruentes



Observación:

Es importante conocer lo que se cumple en la siguiente figura:

Importante!. al trazar AC el triángulo se convierte en triángulo equilátero.

Si en la Figura: 05 se cumple que:

segmento AB = segmento BC ; y
angulo B = 60°

Entonces al trazar segmento AC, el triángulo ABC será un triángulo equilátero.



Perímetro del Triángulo Equilátero

Calcular el perímetro del triángulo equilátero es muy fácil, solo se tiene que conocer su lado y multiplicarlo por tres.


perímetro de un triángulo equilatero

El perímetro de un triángulo se define como la suma de las longitudes de los lados.
En la Figura: 06, el lado del triángulo equilatero tiene el valor de "a", entonces:

Perímetro del triánguloABC = a + a + a


Perímetro del triánguloABC = 3a



Altura del Triángulo Equilátero

Calcular la altura de un triángulo equilátero es sencillo. A continuación, se mostrará dos métodos para realizarlo.


Áltura de un triángulo equilátero
Método 1: TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras nos permitirá calcular la altura del triángulo equilátero rapidámente.

En la Figura: 07, aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectánguloBHC:

h2 = a2 - (a/2)2 = (3/4)a2


Simplificando tenemos:

fórmula para hallar la altura de un triángulo equilátero



Método 2: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Por trigonometría la altura también se calcula rápidamente.


En la Figura: 07, aplicamos razón trigonométrica de 60° en el triángulo rectánguloBHC:

h = a.sen60°


fórmula para hallar la altura de un triángulo equilátero



Área de un Triángulo Equilátero

El área del triángulo equilátero se calcula fácilmente partiendo del principio “Base por Altura entre 2”.


Área de un triángulo equilátero

En la Figura: 08, sea "A" el área del triángulo equilátero ABC (área de la región triangular).
Entonces:

A = (Base x Altura)/2 = (axh)/2 ...(1)


La altura en función de "a" lo hemos calculado y es: h = a√3/2.

Reemplazando en (1) tenemos la siguiente fórmula:

fórmula para calcular el área del triángulo equilátero


Ejercicios Resueltos

Ejercicio N° 1

En el triángulo equilátero que se muestra la altura BH mide √3m. Calcular el perímetro y el área de la región triangular ABC.


Ejercicio N° 1
RESOLUCIÓN:

Del gráfico del ejercicio calculemos primero el valor de “a” (lado del triángulo).
Conocemos la altura del triángulo equilátero por dato, entonces aplicamos fórmula:


h = a√3/2 ; donde: h = √3

entonces a = 2m


i) Cálculo del Perímetro: de acuerdo a la teoría el perímetro es igual: 3.a


entonces Perímetro triánguloABC = 3(2m)


por lo tanto Perímetro triánguloABC = 6m


i) Cálculo del área: aplicando la fórmula del área del triángulo equilátero en función del lado:


A = a2√3/4

A = 22√3/4


por lo tanto Área triánguloABC = √3m2



Ejercicio N° 2

En un triángulo equilátero ABC la distancia del circuncentro al vértice "B" es 6m. Se pide calcular el área de la región triangular ABC.



RESOLUCIÓN:

Se procede a realizar un bosquejo a partir del enunciado.


Ejercicio N° 2

Para calcular el área del triángulo equilátero tenemos que conocer el valor de "a" para aplicar fórmula.
En la figura, sí "O" es circuncentro se cumple la propiedad de la Figura: 4:


BO = 2OH

entonces 6 = 2.n

entonces n = 3


Conociendo "n" se conoce la altura h = 6+3 = 9m


Por fórmula de altura de un triángulo equilátero:


h = a√3/2

entonces 9 = a√3/2

entonces a = 6√3m


Cálculo del área:

A = a2√3/4


Reemplazando el valor de "a=6√3m" en la fórmula se tiene:

por lo tanto Área triánguloABC = 27√3m2



Ejercicio N° 3

En la figura calcular el valor de "x".


Ejercicio N° 3

Resolución

Este ejercicio requiere de un trazo auxiliar para solucionarlo, veamos la siguiente figura.


solución ejercicio N° 3


Paso 1: Se traza segmento AM de tal forma que divida al ángulo "A" en 2α y α. Por qué?
Porque al hacer ese trazo se forma el triángulo isósceles AMC y además por propiedad de ángulo externo (triánguloAMC) el ángulo AMB es 2α.


entonces triángulo ABM es isósceles.


Paso 2: Cómo triánguloABM es isósceles:

entonces AB = BM = a


También conocemos que: BC = 2a

entonces MC = a


Paso 3: Sí MC es "a" y siendo el triánguloAMC isósceles:

entonces AM = a

Ver Figura:

solución ejercicio N° 3

Paso 4: Observando el triánguloABM se nota que los lados son iguales, entonces estamos ante un TRIÁNGULO EQUILÁTERO.


por lo tanto x = 60°


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