Tema: Polinomios

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Teoría de Polinomios para estudiantes de Secundaria, Bachillerato y Preparatoria

Teoría de Polinomios

Los Polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables no determinadas (o desconocidas) y constantes llamadas coeficientes, con las operaciones de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.


— Monomio —
Un monomio es una clase de polinomio, que posee un único término.
— Binomio —
Un binomio consta únicamente por una suma o resta de dos términos.
— Trinomio —
Un trinomio es la suma indicada de tres monomios.
Además debe conocer que los polinomios no son infinitos, es decir, no pueden estar formados por una cantidad infinita de términos. Por otra parte, la "división" es una operación que nunca forma parte de los polinomios.
En términos más simples, un polinomio es una suma de monomios. Los polinomios que se estudiarán son expresiones algebraicas de la forma:

P(x) = a0xn + a1xn - 1 + a2xn - 2 + ...+ an




De esta notación tenemos los siguientes elementos:
Grado: Es el mayor exponente de la variable "x", entonces sería: "n".
Coeficientes: Son los siguientes números reales: a0, a1, a2, ..., an.
Coeficiente principal: Es el coeficiente del término que contiene el grado del polinomio: a0.
Término Independiente: Es aquel donde no esta presente la variable "x", en este caso sería : an.
Ejemplo:

Representación gráfica de un polinomio
I. VALOR NUMÉRICO (VN)

Es el valor del polinomio que se obtiene al reemplazar la variable por un valor constante. 

Un Polinomio puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función del número que se le asigne a la variable dada.


Ejemplo:

Sea: P(x) = 4x2 + 9x - 7,
Reemplazamos la variable "x" por 3, entonces obtendríamos:
P(3) = 4(3)2 + 9(3) - 7
P(3) = 2
a) CAMBIO DE VARIABLE


Es aquella variable que se obtiene de reemplazar la variable original por otra variable. 

Ejemplo:


Sea: P(x) = 5x2 - 3x + 4
Sí reemplazamos la variable "x" por la nueva variable "n-2", Obtenemos:
P(n - 2) = 5(n - 2)2 - 3(n -2) + 4

b) VALORES NÚMERICOS NOTABLES

Los valores numéricos notables determinan la suma de coeficientes y el término independiente remplazando la "variable" por el valor de uno y cero respectivamente.
Tenemos:



II. OPERACIONES CON POLINOMIOS
a) ADICIÓN DE POLINOMIOS

Al sumar polinomios se reduciran sus términos semejantes. Aquellos que no lo sean; serán colocados conservando su propio signo.

 
Ejemplos:

1. Dados los Polinomios:

Resolución:

En primer lugar agrupamos los polinomios de esta forma:

Ahora seleccionamos los términos semejantes:
7x2 + 3x - 5 + 5x2 - 2x + 9
Hecho esto reducimos los términos seleccionados obteniendo el resultado:
= 12x2 + x + 4

2. Calcular:

Sabiendo que:
Resolución:

Sumando los tres polinomios juntos tenemos: 
3x2 + 5 + 8x3 + 5x2 - 1 + 8x + 4

Los términos semejantes se reducen, los otros son colocados con su propio signo y obtenemos la siguiente respuesta:
= 8x3 + 8x2 + 8x + 8

b) SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

La gran diferencia que existe con la suma, es que al polinomio negativo se le cambiarán previamente, los signos de todos sus términos. Luego de esto, se procederá como en la suma.


Ejemplo:
Sí tenemos:
Calcular:
Resolución:

Q(x) es el polinomio, observas el signo a su izquieda "-".
Notarás como se ha colocado los paréntesis.
Ahora cambiamos de signos a todos los términos de Q(x). Tenemos:
2x2 - 5x2 + 10x -7 - x3 + 7x2 - 3x + 11

Seleccionamos términos semejantes y reducimos:
= x3 + 2x2 + 7x + 4 ,
que sería la respuesta.
c) MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Se efectua multiplicando cada uno de los términos de un polinomio con todos los términos del otro polinomio, sumando después los productos obtenidos.
Es conveniente ordenar los polinomios según las potencias crecientes (o decrecientes) de una de las variables.


Ejemplo:

Multiplicar:
Entonces aplicamos una multiplicación lineal así:

Ordenando según las potencias tenemos por solución:
x4 - 3x3 + 2x2 - 6x
III. GRADOS DE POLINOMIOS

Es una característica que sólo se presentan en los polinomios y se les relaciona con los exponentes de las variable, existen dos tipos de grado.

a) GRADO RELATIVO (GR)
» Si tiene un término, esta dado por el exponente de la variable referida.
» Si tiene más de un término, esta dado por el mayor exponente de la variable referida.
Ejemplo:


(Son los exponentes de cada variable)

(Son los mayores exponentes de cada variable).
b) GRADO ABSOLUTO (GA)

También llamado grado de polinomio, está dado por la suma de los exponentes de las variables (en el caso que se presente un sólo término).
Si tiene más de un término, está dado por la suma de los exponentes de las variables en uno de sus términos.

 
Ejemplos:

( El GA es la suma de los exponentes de las variables).
(En este caso el GA es la mayor suma de los exponentes de las variables).


IV. POLINOMIOS ESPECIALES
En los Polinomios especiales, veremos los siguientes polinomios:
a) POLINOMIO HOMOGÉNEO

Es aquel polinomio en el cual todos sus términos tienen el mimo grado absoluto, el cual se denomina grado de homogeneidad.


Ejemplo:

Se observa que el grado de todos los términos es 12, por lo tanto es un polinomio homogéneo. Grado de homogeneidad = 12.

   
b) POLINOMIO COMPLETO

Este tipo de polinomio se analiza respecto a una variable, entonces decimos que es aquel cuya variable analizada presenta todos los exponentes desde el mayor hasta el exponentes cero.


Ejemplo:





» Analizando para la variable "x" se observa que sus exponentes son: "2, 4, 3, 1, 0" estan todos los exponentes desde el mayor hasta cero. Esto indica que el polinomio es completo respecto a "x".

» Analizando para a variable "y" se observa que los exponentes son: "5, 2, 1, 0, 8"; faltan los exponentes: "7, 6, 4, 3". Esto indica que el polinomio es incompleto respecto a "y"

.
c) POLINOMIO ORDENADO

Este tipo de polinomio se analiza tambien respecto a una variable, es aquel cuyo exponentes de las variables sólo aumentan o disminuyen.


Ejemplo:


» Analizando para la variable "x" se observa que sus exponentes son: "5, 3, 0, 2", estan disminuyendo. Esto indica que el polinomio es ordenado decreciente respecto a "x". 
» Analizando para la variable "y" se observa que los exponentes son: 3, 2, 1, 8 estan disminuyendo y aumentando a la vez. Esto indica que el polinomio no es ordenado con respecto a "y". 
Propiedades: 
» En todo polinomio completo y ordenado de una variable, se verifica que el valor absoluto de la diferencia de los exponentes de dos términos consecutivos es igual a la unidad.
» En todo polinomio completo de una variable el número de términos esta dado por el valor del grado aumentado en uno.


d) POLINOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios son idénticos si poseen el mismo grado y sus términos semejantes tienen los mismos coeficientes:

También si dos polinomios son idénticos estos poseen el mismo valor númerico.

Ejemplos:

1.- Sí:
Resolución:

Este polinomio esta reducido y ordenado por lo tanto igualamos los coeficientes de los términos semejantes, generando las siguientes ecuaciones:



2.- Sí:
Resolución:

Este polinomio no esta reducido, entonces trabajaremos con el Valor Numérico.
Sí x = 3, tenemos:

 x = -2, tenemos:

e) POLINOMIO IDENTICÁMENTE NULO
Es el polinomio reducido en el cual todos los soeficientes de sus términos son nulos (cero). 
Notación:

También si el polinomio es identicámente nulo, entonces su Valor Numérico es igual a cero.
Ejemplos:
1.- Sí:

Resolución:

Este polinomio esta reducido y ordenado, por lo tanto igualamos los coeficientes a cero, generando las siguientes ecuaciones:



2.- Sí:
Resolución:

Este polinomio no esta reducido, entonces trabajaremos con el Valor Numérico: 
Sí x = 3, tenemos:

 x = -2, tenemos: