Tema: Factorización

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Factorización de Polinomios para estudiantes de primaria, secundaria, preuniversitario, bachillerato y selectividad

Teoría de Factorización

Definimos la factorización como el proceso contrario a la multiplicación, el cual no está sujeta a reglas específicas, su operación depende de la práctica adquirida. En esencia es la transformación de un polinomio en un producto indicado de factores primos dentro de un determinado campo numérico. Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando los coeficientes de dichos polinomios pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo.


Campo númerico o clasificación de los números
Los campos o conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.

Para nuestro tema vamos a ver tres campos de importancia.


» Número Racional:
» Número Real:
» Número Complejo:


Ejemplos:



i) P(x) = 2x2 - 7x + 3 ; está definido en Número racional, Número real y .
ii)Q(x) = Ejemplo de número real; está definido en Número real
, ; pero no en .
iii) R(x) = x3 + 2i - 3; está definido sólo en .

FACTOR O DIVISOR:

Es un polinomio de grado distinto de cero que divide exactamente a otro.

FACTOR PRIMO:
Es un polinomio sobre un campo numérico el cual no se puede transformar en el producto de dos polinomios sobre el mismo campo numérico.

Ejemplo:

 

P(x) = x2 - 36
No es primo en , ni en , ni en ; ya que puede expresarse como: (x + 6)(x - 6); sin embargo:
(x + 6) y (x - 6) si son factores primos porque no se pueden factorizar.

NÚMERO DE FACTORES PRIMOS:
En la cantidad de factores no repetidos que tienen el polinomio, dependiendo sobre que campo numérico se factorice.

Ejemplos:

 


1.- P(x) = x4 - 36 = (x2 + 6)(x2 - 6)
símbolo de entonces
P(x) tiene dos factores primos en
2.- P(x) = x4 - 36 = (x2 + 6)(x + )(x - )
P(x) tiene tres factores primos en
3.- P(x) = x4 - 36 = (x + i)(x - i) (x + )(x - )
P(x) tiene cuatro factores primos en

I. MÉTODOS de FACTORIZACIÓN

A) MÉTODO DEL FACTOR COMÚN

El factor común está contenido en todos los términos de la expresión algebraica a factorizar, con el menor exponente; puede ser monómico o polinómico
Ejemplos:

Ejemplo 1:

Factorizar:
M = 2x5y3 + 2x5z - 2x5
Resolución:
Para este ejemplo el Factor Común será: 2x5, entonces la expresión factorizada sería:
M = 2x5 (y3 + z - 1)
Ejemplo 2:

N = (a + b3) + (a + b3)x + (a + b3)z
Resolución:
Identificamos el Factor Común, que es: (a + b3) de donde: N = (a + b3)(1 + x + z)
B) FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Consiste en agrupar convenientemente de forma que se tenga factor común polinómicos.

Ejemplos:
Ejemplo 1:

Factorizar: P = (ax + by)2 + (ay – bx)2
Resolución:
Desarrollando por productos notables.
P = a2x2 + 2abxy + b2y2 + a2y2 – 2abxy + b2x2
Simplificando:
P = a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2
Agrupando el primero con el tercero término y el segundo con el cuarto término, tenemos:
P = (a2x2 + a2y2) + (b2y2 + b2x2)
P = a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)
P = (a2 + b2)(x2 + y2)