ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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Ecuaciones de Segundo Grado

Ecuaciones Cuadráticas

Las Ecuaciones de Segundo Grado, llamado también "Ecuación Polinomial Cuadrática" , tienen la siguiente forma general:


P(x) = ax2 + bx + c;   adiferente0 .

Qué es una ecuación?

Es una igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas, donde al menos una de las expresiones matemáticas contine variables

EJEMPLOS

4x = 12

x + 2 = y + 1

x2 - 25 = 0

xx + 8 = 12

NOTA:

A las variables que intervienen en la ecuación se les llama incógnitas.
espacioLa ecuación cuadrática en "x" tendrá la siguiente forma:

Definición de una ecuación de segundo grado


Se dice que una Ecuación de Segundo Grado está completo cuando los coeficientes: a, b, c diferente a 0
ax2 + bx + c = 0




espacioTener en cuenta:

Si : b = 0, Entonces: ax2 + c = 0
Si : c = 0, Entonces: ax2 + bx = 0
Si : b = c = 0, Entonces: ax2 = 0

I. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

A) FACTORIZACIÓN

Consiste en Factorizar el Polinomio de segundo grado, siguiendo los siguientes pasos:

espacioPaso 1: Se trasladan todos los términos al primer miembro.
espacioPaso 2: Se factoriza éste miembro por agrupación o aspa simple.
espacioPaso 3: Para obtener las raíces de la ecuación, se iguala cada factor a cero.

Ejemplo:

Resolver: 2x2 - 3x = 9
Resolución:

Pasando todo al primer miembro:
     2x2 - 3x - 9 = 0
Factorizamos:
método de factorización por el aspa simple
Tenemos: (2x + 3)( x - 3 ) = 0

Igualando cada factor a cero "0", tenemos:

    entonces x = -3/2 o x = 3

    por lo tanto
Conjunto Solución = { -3/2; 3}

B) FÓRMULA GENERAL (Carnot)

De la ecuación:
ax2 + bx + c = 0

Se reduce:
fórmula general. Carnot
Donde la Discriminante sería: La discriminante de una ecuación cuadrática

Veamos algunos ejemplos de aplicación para usar la fórmula general y la fórmula de la discriminante.


Ejemplo 1:

Resolver:

2x2 - 5x - 4 = 0

Resolución:

Reconocemos rápidamente las variables: a = 2; b = -5; c = -4.
Aplicamos fórmula general:
Ejemplo de aplicación de la fórmula general
Ejemplo 2 :


Calcular le valor de la discriminante de:

2x2 - 3x + 1 = 0

Resolución:

Identificamos los valores de los coeficientes de la ecuación dada:

a = 2, b = -3, c = 1; aplicando la fórmula (2) tenemos:
espaciodiscriminante = (-3)2 - 4(2)(1) = 1
discriminante = 1


Discusión de las raíces de una ecuación cuadrática.
Casos de la Discriminante:

Primer Caso (discriminante > 0):
» Las raíces son reales y diferentes.
» La es un cuadrado perfecto, las raíces x 1y x 2 son racionales.

Primer Caso (discriminante = 0):
» Las raíces son reales e iguales.
» Se le conoce como solución única
» Se cumple que: x1 = x2 = b/2a

Primer Caso (discriminante < 0):
» Las raíces son complejas y conjugadas.
» Las raíces serían x1 = a - bi, x2 = a - bi.
» Teorema: i2 = -1; i = √-1

NotaDeseas conocer como se demuestra la fórmula general, Descárgalo en PDF
Descargar Fórmula General
Graficámente, la Ecuación de Segundo Grado con los casos de la discriminante lo tendríamos de la siguiente forma:

Representación gráfica de la discriminante

II. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

En toda ecuación cuadrática de la forma:

ax2 + bx + c = 0;  a diferente de 0
con sus raíces x 1, x 2 , se cumplirán las siguientes propiedades:

A) Suma de Raíces

suma de raíces de una ecuación cuadrática

B) Producto de Raíces

producto de raíces de una ecuación cuadrática

C) Resta de Raíces

resta de raíces de una ecuación cuadrática

D) Suma de Cuadrados de las Raíces

Suma de cuadrados de raíces

E) Casos Particulares


Dada la ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0


De raíces: x 1, x 2   y si por dato nos dicen que son:
espacio1.- Simétricas, entonces se cumple:
          x 1 + x 2 = 0
espacio2.- Recíprocas, entonces se cumple:
          x 1 . x 2 = 1

III. RECONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

espacioConocidas las raíces de una ecuación de segundo grado, ésta se reconstruye empleando la suma y producto de dichas raíces.

x2 - Sx + P = 0

Donde:
espacioS = x 1 + x 2
espacioP = x 1 . x 2

Ejemplo:

Si las raíces de una ecuación son:
     x1 = -9 ; x2 = 2 .
Calcular la ecuación cuadrática.
Resolución:

Aplicamos la fórmula y decimos:

     x2 - (-9 + 2 )x + (-9)2 = 0 ; tenga cuidado en el signo.

     por lo tanto x2 + 7x - 18 = 0 ; sería la ecuación reconstruida de Segundo Grado..


IV. TEOREMAS CUADRÁTICAS EQUIVALENTES

A) ECUACIONES CUADRÁTICAS EQUIVALENTES


espacioDos Ecuaciones son equivalentes cuando tiene las mismas raíces.
Veamos:
ax2 + bx + c = 0
mx2 + nx + p = 0
Ecuaciones equivalentes

B) ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA RAÍZ COMÚN


espacioSi las Ecuaciones:
ax2 + bx + c = 0 ; a diferente de 0
mx2 + nx + p = 0 ; para todo m diferente de 0

admiten una raíz común, entonces se cumplirá:
fórmula de ecuaciones cuadráticas con una raíz común

V. EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ejercicio Resuelto N° 1:

x1 y x2 son raíces de la siguiente ecuación:

x2 - 2(m-1)x + 3 = 0
Calcular la suma de valores que puede tomar "m" para que satisfaga la siguiente relación:
ejemplo
Resolución:


De la relación dada efectuamos y obtenemos lo siguiente:
operaciones con raices de una ecuación de segundo grado

notaObserve que la expresión (1) sale completando cuadrados.
También: la suma y producto de raíces lo podemos sacar de la ecuación del ejercicio.
Entonces:
raíces de una ecuación cuadráticaLuego reemplazando en la expresión (1) tenemos:
ecuación de segundo gradoResolviendo:
ejemplo de raíces de una ecuación de segundo grado




Ejercicio Resuelto N° 2:

Una ecuación cuadrática tiene como raíces a:
espaciodiscriminante+ 4 y discriminante- 2.
Calcular la suma de las cifras al multiplicar estas raíces, siendo discriminante: el discriminante de la ecuación.

Resolución:
Si observamos los datos tenemos las raíces, entonces podemos reconstruir la ecuación. ( Ver Teoría )

espacioSuma de las raíces: S = 2discriminante + 2
espacioProducto de ráices:  P = discriminante2 + 2discriminante - 8
espacioLuego la ecuación será:

x2 - (2discriminante + 2)x + (discriminante2 + 2discriminante - 8) = 0
Luego calculando el discriminante de esta ecuación tenemos:
cálculo de la discriminante de una ecuaciónEntonces ya conocemos las raíces, por lo tando el producto de las raíces será = (40)*(34) = 1360; luego:
solucion ejercicio n°2