TEMA: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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Definición de Ecuación de 2° Grado

Las Ecuaciones de Segundo Grado, llamados también "Ecuaciones Cuadráticas" , tienen la siguiente forma:

Dado que: a, b, c 0, entonces:

ax2 + bx + c = 0



(Aquí se dice que la ecuación de segundo grado está completo).
Tener en cuenta:
Sí : b = 0, Entonces: ax2 + c = 0
Sí : c = 0, Entonces: ax2 + bx = 0
Sí : b = c = 0, Entonces: ax2 = 0

I. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
a) FACTORIZACIÓN

Consiste en Factorizar el Polinomio de segundo grado, siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Se trasladan todos los términos al primer miembro.
Paso 2: Se factoriza éste miembro por agrupación o aspa simple.
Paso 3: Para obetner las raíces de la ecuación, se iguala cada factor a cero.
b) FÓRMULA GENERAL

De la ecuación:
ax2 + bx + c = 0

Se reduce:

Donde la Discriminante sería:
Ejemplo:


Calcular le valor de la discriminante de:

2x2 - 3x + 1 = 0
Rapidamente sacamos los valores de los coeficientes:
a = 2, b = -3, c = 1; aplicando la fórmula (2) tenemos:
= (-3)2 - 4(2)(1) = 1
= 1
Discusión de las raíces de una ecuación cuadrática. Casos de la Discriminante:
Primer Caso ( > 0):
» Las raíces son reales y diferentes.
» La es un cuadrado perfecto, las raíces x 1y x 2 son racionales.
Segundo Caso ( = 0):
» Las raíces son reales e iguales.
» Se cumple que: x1 = x2 = b/2a
Tercer Caso (< 0):
» Las raíces son complejas y conjugadas.
» Las raíces serían x1 = a - bi, x2 = a - bi.

Deseas conocer como se demuestra la fórmula general, veálo aquí.
Graficámente la Ecuación lo tendríamos de la siguiente forma:


II. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

En toda ecuación cuadrática de la forma:

ax2 + bx + c = 0;  a 0
con sus raíces x 1, x 2 , se cumplirán las siguientes propiedades:
a) Suma de Raíces

b) Producto de Raíces

c) Resta de Raíces

d) Suma de Cuadrados de las Raíces
e) Casos Particulares

Dada la ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0

De raíces: x 1, x 2 y si por dato nos dicen que son:
1.- Simétricas, entonces se cumple: x 1 + x 2 = 0
2.- Recíprocas, entonces se cumple: x 1 . x 2 = 1

III. RECONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Conocidas las raíces de una ecuación de segundo grado, ésta se reconstruye empleando la suma y producto de dichas raíces.

x2 - Sx + P = 0

Donde:
S = x 1 + x 2
P = x 1 . x 2

IV. TEOREMAS CUADRÁTICAS EQUIVALENTES
a) Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes

Dos Ecuaciones son equivalentes cuando tiene las mismas raíces.
Veamos:
ax2 + bx + c = 0
mx2 + nx + p = 0

b) Ecuaciones Cuadráticas con una raíz común

Si las Ecuaciones:
ax2 + bx + c = 0 ; a 0
mx2 + nx + p = 0 ; m 0

admiten una raíz común, entonces se cumplirá:


V. EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Ejercicio Resuelto N° 1:

x1 y x2 son raíces de la siguiente ecuación:

x2 - 2(m-1)x + 3 = 0
Calcular la suma de valores que puede tomar "m" para que satisfaga la siguiente relación:
ResolucIón:


De la relación dada efectuamos y obtenemos lo siguiente:
operaciones con raices de una ecuación de segundo grado

Observe que la expresión (1) sale completando cuadrados; además la suma y producto de raíces lo podemos sacar de la ecuación del ejercicio.
Entonces:
Luego reemplazando en la expresión (1) tenemos:
Resolviendo:


Ejercicio Resuelto N° 2:

Una ecuación cuadrática tiene como raíces a:
+ 4 y - 2.
Calcular la suma de las cifras al multiplicar estas raíces, siendo : el discriminante de la ecuación.

Resolución:
Si observamos los datos tenemos las raíces, entonces podemos reconstruir la ecuación. ( Ver el Apéndice III )
Suma de las raíces: S = 2 + 2
Producto de ráices:  P = 2 + 2 - 8
Luego la ecuación será:

x2 - (2 + 2)x + (2 + 2 - 8) = 0
Luego calculando el discriminante de esta ecuación tenemos:
calculo de la discriminante de una ecuaciónEntonces ya conocemos las raíces, por lo tando el producto de las raíces será = (40)*(34) = 1360; luego: